Bài 7: Đa thức một biến

A. Lý thuyết

1. Đa thức một biến

• Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.

• Một số được coi là một đơn thức một biến.

• Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Ví dụ: Đa thức 5x⁵ + 4x³ – 2x² + x là đa thức một biến (biến x); bậc của đa thức là 5.

2. Sắp xếp một đa thức một biến

Để thuận lợi cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

Ví dụ 1: Đối với đa thức P(x) = 6x + 3 – 6x² + x³ + 2x⁴

+ Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm của biến, ta được:

P(x) = 2x⁴ + x³ – 6x² + 6x + 3

+ Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa tăng của biến, ta được:

P(x) = 3 + 6x – 6x² + x³ + 2x⁴

Nhận xét:

Mọi đa thức bậc 2 của biến x, sau khi đã sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa giảm của biến, đều có dạng: ax² + bx + c

Trong đó a,b,c là các số cho trước và a ≠ 0.

Chú ý:

+ Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.

+ Những chữ đại diện cho các số xác định cho trước được goi là hằng số.

Ví dụ 2: Cho đa thức P(x) = 2 + 5x² – 3x³ + 4x – 2x – x³ + 6x⁵. Thu gọn và sắp xếp đa thức

P(x) = 2 + 5x² – 3x³ + 4x² – 2x – x³ + 6x⁵ = 6x⁵ + (-3x³ – x³) + (5x² + 4x²) – 2x + 2 = 6x⁵ – 4x³ + 9x² – 2x + 2

3. Hệ số

Hệ số của lũy thừa 0 của biến gọi là hệ số tự do; hệ số của lũy thừa cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất.

Ví dụ: Các hệ số của đa thức 6x⁵ – x⁴ + 5x² – x + 2 là 6; -1; 5; -1; 2

Hệ số tự do là: 2

Hệ số cao nhất là: 6

B. Bài tập

Bài 1: Thu gọn các đa thức sau và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến

a) 2x³ – x⁵ + 3x⁴ + x² – (1/2)x³ + 3x⁵ – 2x² – x⁴ + 1

b) x⁷ – 3x⁴ + 2x³ – x² – x⁴ – x + x⁷ – x³ + 5

Hướng dẫn giải:

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x + x² + x³ + x⁴ + …. + x⁹⁹ + x¹⁰⁰ tại x = -1

b) x² + x⁴ + x⁶ + …. + x⁹⁸ + x¹⁰⁰ tại x = -1

Hướng dẫn giải: