Bài 17: Ước chung lớn nhất

A. Lý thuyết

Định nghĩa: Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Cách tìm Ước chung lớn nhất:

+ Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

+ Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

+ Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích nó là UCLN phải tìm

Ví dụ: Tìm ƯCLN (18;30)

+ Phân tích các số ra thừa số nguyên tố 

+ Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3

+ Vậy ƯCLN(18;30) = 2.3 = 6

Chú ý:

+ Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

+ Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố bằng nhau.

B. Bài tập

Câu 1: Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài là 680cm và chiều rộng là 480cm. Người ta muốn lát kín căn phòng đó bằng gạch hình vuông mà không có viên gạch nào bị cắt xén. Hỏi viên gạch đó có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Gọi độ dài của viên gạch hình vuông là x.

Để lát kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì x phải là ước chung của chiều dài và chiều rộng.

Hay 680 ⋮ x và 480 ⋮ x ⇒ x ∈ ƯC(680; 480)

Để x lớn nhất thì ⇒ x ∈ ƯCLN(680; 480)

Ta có: 

⇒ x ∈ ƯCLN(680; 480) = 2³.5 = 40

Vậy để lát kín căn phòng đó mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài lớn nhất của viên gạch là 40cm

Câu 2: Một khu đất hình chữ nhất có chiều dài là 60cm, chiều rộng là 24cm. Người ta chia thành những thửa đất hình vuông bằng nhau, để mỗi thửa đất có diện tích lớn nhất thì độ dài mỗi cạnh của thửa đất đó bằng?

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài cạnh của mỗi thửa đất hình vuông là x (cm)

Để diện tích của một thửa đất đó lớn nhất thì độ dài x lớn nhất.

Vì các thửa đất đó được chia ra từ khu đất hình chữ nhật có chiều dài là 60cm, chiều rộng là 24cm

Nên x phải là ước của 60 và 24 hay x ∈ ƯC(24; 60)

Khi đó x lớn nhất thì x = ƯCLN(24; 60)

Ta có: 

⇒ ƯCL(24; 60) = 2².3 = 12

Vậy mỗi thừa đất hình vuông có độ dài cạnh lớn nhất là 12cm