Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

1. Hệ thức vi – ét

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:

Khi đó nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:

2. Ứng dụng của định lý Vi – ét

a) Tính nhẩm nghiệm

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là x₂ = c/a

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 và nghiệm còn lại là x₂ = -c/a

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.

+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x² – Sx + P = 0

+ Điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0

3. Ví dụ cụ thể

Câu 1: Cho phương trình x² – 3x + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = 2(x₁ + x₂) – x₁.x₂

Hướng dẫn:

Ta có: a.c = 1.2 = 2 > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:

Khi đó P = 2(x₁ + x₂) – x₁.x₂ = 2.3 – 2 = 4. Vậy P = 4

Câu 2: Tìm hai số khi biết tổng hai số đó là S = 5 và tích của hai số đó là P = 6 ?

Hướng dẫn:

Gọi x₁, x₂ là hai số cần tìm, khi đó x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² – 5x + 6 = 0

Ta có Δ’ = 5² – 4.6.1 = 25 – 24 = 1 > 0

Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

Vậy hai số cần tìm là 3 và 2.