Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0)

Giải phương trình ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0)

+ Đặt ẩn phụ x² = t, t ≥ 0

+ Giải phương trình ẩn phụ mới: at² + bt + c = 0

+ Với mỗi giá trị tìm được của t, lại giải phương trình x² = t.

Ví dụ: Giải phương trình x⁴ – 13x² + 36 = 0

Hướng dẫn:

Đặt x² = t, t ≥ 0 Khi đó ta được phương trình bậc hai đối với ẩn t là t² – 13t + 36 = 0 (*)

Ta có: Δ_t = (-13)² – 4.36 = 169 – 144 = 25 > 0

Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm là:

+ Với t₁ = 9 ta có x² = 9 có hai nghiệm là x₁ = 3; x₂ = -3.

+ Với t₂ = 4 ta có x² = 4 có hai nghiệm là x₁ = 2; x₂ = -2.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

+ Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức

+ Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

+ Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải phương trình

Hướng dẫn:

Điều kiện x ≠ ±3.

Khi đó ta có

Ta có: Δ₁ = (-4)² – 4.3 = 16 – 12 = 4 > 0

Khi đó, phương trình (1) có hai nghiệm là:

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 3; x₂ = 1