Bài 3: Thể tích của hình hộp chữ nhật – Luyện tập

A. Lý thuyết

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc

a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

– Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng ( P ) nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ( P ). Kí hiệu d ⊥ ( P ).

– Nếu một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P ) tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong ( P ) và đi qua điểm A.

b) Hai mặt phẳng vuông góc

– Mặt phẳng ( P ) gọi là vuông góc với mặt phẳng ( Q ) nếu mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( Q ). Kí hiệu ( Q ) ⊥ ( P ).

c) Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ. Chứng minh rằng ( AMQD ) ⊥ ( CPQD )

Hướng dẫn:

Ta có:

Mà DC ∈ ( DCPQ ) ⇒ ( AMQD ) ⊥ ( DCPQ )

2. Thể tích hình hộp chữ nhật

a) Thể tích hình hộp chữ nhật

Ta có V = a.b.h

b) Thể thích hình lập phương

Ta có: V = a³.

c) Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 12cm, AD = 16cm, AA’ = 25cm. Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.

Hướng dẫn:

Ta có V_{ABCD.A’B’C’D’} = AB.AD.AA’ = 12.16.25 = 4800( cm³ ).

B. Bài tập

Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A₁B₁C₁D₁ có ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O₁ là giao điểm của A₁C₁ và B₁D₁. Chứng minh rằng:

a) BDD₁B₁ là hình chữ nhật.

b) OO₁ ⊥ ( ABCD )

Hướng dẫn:

a) Từ giả thiết ABCD.A₁B₁C₁D₁ là hình hộp chữ nhật nên các mặt bên ( BB₁A₁A ),( BB₁C₁C ) là hình chữ nhật, do đó ta có:

 ⇒ BB₁ ⊥ mp( ABCD )

Mặt khác đường chéo BD ⊂ mp( ABCD ) và đi qua B nên:

BB₁ ⊥ BD ⇒ Bˆ₁BD = 90⁰

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng được: BB₁D₁ˆ = BDD₁ˆ = 90⁰

Điều đó chứng tỏ tứ giác BDD₁B₁ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tương tự như câu a, ta có tứ giác ACC₁A₁ là hình chữ nhật

Áp dụng tính chất đường chéo và các hình vuông ABCD, A₁B₁C₁D₁ ta được O là trung điểm của AC và BD và O₁ là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁

⇒ OO₁ là đường trung bình của các hình chữ nhật BDD₁B₁ và ACC₁A₁

Do đó: OO₁//BB₁//DD₁//AA₁//CC₁

Suy ra

Bài 2: Các kích thức của hình hộp chữ nhật như trên hình vẽ. Tính độ dài của đoạn AC₁ ?

Hướng dẫn:

Vì ABCD.A₁B₁C₁D₁ là hình hộp chữ nên

CC₁ ⊥ mp( ABCD ) ⇒ CC₁ ⊥ AC hay tam giác ACC₁ vuông tại C, đáy ABCD là hình chữ nhật nên tam giác ACD vuông tại D.

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

Thay đẳng thức ( 1 ) vào ( 2 ) ta được:

AC₁² = CD² + AD² + CC₁² ⇒ AC₁ = √ (CD² + AD² + CC₁²)

Hay AC₁ = √ (30² + 40² + 120²) = √ (130²) = 130( cm )