Tổng hợp Lý thuyết và Bài tập Chương 3 Hình học 8

A. Lý thuyết

1. Đoạn thẳng tỉ lệ

a) Định nghĩa

AB,CD tỉ lệ với A’B’,C’D’ ⇔ AB/CD = A’B’/C’D’.

b) Tính chất

AB/CD = A’B’/C’D’ ⇒ Tổng hợp Lý thuyết chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

2. Định lý Ta – lét thuận và đảo

Tổng hợp Lý thuyết chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Khi a//BC ⇔ Tổng hợp Lý thuyết chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

3. Hệ quả định lý Ta – lét trong tam giác

Tổng hợp Lý thuyết chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án Tổng hợp Lý thuyết chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án Tổng hợp Lý thuyết chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Ta có a//BC Tổng hợp Lý thuyết chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

4. Tính chất đường phân giác trong tam giác

a) Phân giác góc trong

Tổng hợp Lý thuyết chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Tổng quát: Δ ABC, AD là đường phân giác của góc BACˆ ( D ∈ BC )

Ta có: DB/DC = AB/AC hay DB/AB = DC/AC

b) Phân giác góc ngoài

Tổng hợp Lý thuyết chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

AE’ là phân giác của góc BAxˆ ( AB ≠ AC )

Ta có: AB/AC = E’B/E’C hay E’B/AB = E’C/AC

5. Tam giác đồng dạng

Hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Tổng hợp Lý thuyết chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án Tổng hợp Lý thuyết chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác A’B’C’ nếu

Tổng hợp Lý thuyết chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Kí hiệu: Δ ABC ∼ Δ A’B’C’

Tỉ số cách cạnh tương ứng A’B’/AB = A’C’/AC = B’C’/BC = k được gọi là tỉ số đồng dạng

6. Các trường hợp bằng nhau và trường hợp đồng dạng của hai tam giác

a) Các trường hợp bằng nhau

+ A’B’ = AB;B’C’ = BC và A’C’ = AC ⇒ Δ ABC = Δ A’B’C'( c – c – c )

+ A’B’ = AB; B’C’ = BC và  = B’ˆ ⇒ Δ ABC = Δ A’B’C'( c – g – c ).

 = A’ˆ = B’ˆ và A’B’ = AB ⇒ Δ ABC = Δ A’B’C'( g – c – g ).

b) Các trường hợp đồng dạng

+ A’B’/AB = A’C’/AC = B’C’/BC ⇒ Δ ABC ∼ Δ A’B’C'( c – c – c ).

+ A’B’/AB = B’C’/BC và  = B’ˆ ⇒ Δ ABC ∼ Δ A’B’C'( c – g – c ).

 = A’ˆ và  = B’ˆ ⇒ Δ ABC ∼ Δ A’B’C'( g – g ).

7. Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông ABC và A’B’C’ (với  = A’ˆ = 90^0 )

+ A’B’/AB = A’C’/AC.

 = B’ˆ hoặc  = C’ˆ.

+ A’B’/AB = B’C’/BC.

8. Mở rộng

Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:

+ Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

B. Bài tập

1. Nhận biết – Thông hiểu

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = 10 cm

a) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho CA/CB = 3/2 . Tính độ dài đoạn CB.

b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho DA/DB = 3/2 . Tính độ dài đoạn CD.

Hướng dẫn:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

a) Từ giả thiết

CA/CB = 3/2

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp ánvới t > 0

Nên AB = 10 cm = CA + CB = 5t ⇔ t = 2

Vậy CB = 4 cm

b) Từ giả thiết

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Mặt khác D thuộc tia đối của tia BA nên DA > DB

Do đó AB = 10 cm = DA – DB = 3t – 2t ⇔ t = 10 cm

Vậy DB = 20 cm

Bài 2: Tính giá trị của x trên hình vẽ đã có:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Hướng dẫn:

a) Áp dụng định lí Ta – lét vào tam giác ABC có MN//BC

Ta có:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Hay 4/x = 5/3,5 ⇒ x = 4.3,5/5 = 2,8( cm )

Vậy x = 2,8( cm )

b) Áp dụng định lí Ta – lét vào tam giác DEF có PQ//EF

Ta có:Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Hay 10,5/x = 9/( 24 – 9) ⇒ x = (10,5.15 )/9 = 17,5 ( cm )

Vậy x = 17,5 ( cm )

Bài 3: Tính độ dài x, y trong các hình bên

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Hướng dẫn:

a) Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét ta có:

DE//BC ⇒ BC/DE = AB/AD hay x/8 = 28,5/9,5

⇔ x = 8.28,5/9,5 = 456/19 ≈ 31,58

b) Ta có: A’B’//AB vì cùng vuông góc AA’

Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét ta có:

A’B’//AB ⇒ AB/A’B’ = AO/A’O hay x/4,2 = 6/3 ⇔ x = 8,4

Áp dụng định lí Py – ta – go với Δ OAB ta có:

O B2 = A B2 + O A2 ⇒ y = √ ( 8, 42 + 62 ) ≈ 10,32

Bài 4: Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) có O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua O song song hai đáy và cắt AD, BC lần lượt tại E và F. Chứng minh OE = OF.

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Hướng dẫn:

Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét cho OE//DC,

OF//DC và AB//DC ta được:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Điều phải chứng minh.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tính AB, BC biết AD = 4 cm và DC = 5 cm.

Hướng dẫn:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Áp dụng tính chất đường phân giác BD của tam giác

ABC, ta có:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án với t > 0

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

B C2 = A C2 + A B2 hay ( 5t )2 = 92 + ( 4t )2 ⇔ ( 3t )2 = 92 ⇒ t = 3 (vì t > 0 )

Khi đó: AB = 12cm, BC = 15cm

Bài 6: Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE. Biết AD/DC = 2/3 , EA/EB = 5/6 . Tính các cạnh của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác là 45cm.

Hướng dẫn:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE của tam giác ABC ta được:

+ AB/BC = AD/DC = 2/3 = 4/6

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp ánvới t > 0

+Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Theo giả thiết ta có: PABC = AB + AC + BC = 15t = 45 ⇒ t = 3

Vậy AB = 12( cm ); BC = 18( cm ); AC = 15( cm )

Bài 7: Cho Δ A’B’C’ ∼ Δ A”B”C” theo tỉ số đồng dạng k1 , Δ A”B”C” ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k2 . Hỏi Δ A”B”C” ∼ Δ A’B’C’ và Δ A’B’C’ ∼ Δ ABC đồng dạng theo tỉ số nào?

Hướng dẫn:

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A”B”C” ∼ Δ A’B’C’ là k

Ta có:Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Điều đố chứng tỏ Δ A”B”C” ∼ Δ A’B’C’ theo tỉ số đồng dạng là k = 1/k1

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A’B’C’ ∼ Δ ABC là k3

Thì k1 = A’B’/A”B” , k2 = A”B”/AB ⇒ k3 = A’B’/AB = A’B’/A”B” . A”B”/AB = k1 . k2

Điều đó chứng tỏ Δ A’B’C’ ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k3 = k1 k2

Bài 8: Cho tam giác Δ A’B’C’ ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k = 3/5

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.

b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 40dm. Tính chu vi của hai tam giác đã cho

Hướng dẫn:

a) Ta có:

Δ A’B’C’ ∼ Δ ABCBài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

b) Theo giả thiết ta có: PABC – PA’B’C’ = 40dm

Khi đó ta có:Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

hayBài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Bài 9: Tứ giác ABCD có AB = 2cm; BC = 6cm; CD = 8cm; DA = 3cm và BD = 4cm. Chứng minh rằng:

a) Δ BAD ∼ Δ DBC

b) ABCD là hình thang

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Hướng dẫn:

a) Ta có:

BA/BD = AD/BC = BD/CD = 1/2 ⇒ Δ BAD ∼ Δ DBC ( c – c – c )

b) Ta có: Δ BAD ∼ Δ DBC

⇒ ABDˆ = BDCˆ nên AB//CD

⇒ ABCD là hình thang.

Bài 10: Chân đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 25 cm và 36 cm. Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.

Hướng dẫn:

Ta có: Δ AHB ∼ Δ CHA ⇒ AH/HC = HB/HA

Hay HA/36 = 25/HA ⇔ H A2 = 302 ⇒ HA = 30( cm )

Ta có: SABC = 1/2 AH.BC = 1/2 .30.61 = 915( cm2 )

Áp dụng định lý Py – ta –go ta được:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

2. Vận dung – Vận dụng cao

Bài 1: Cho hình vẽ như bên, biết EBAˆ = BDCˆ

a) Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác vuông? Kể tên các tam giác vuông đó.

b) Cho AE = 10cm, AB = 15cm, BC = 12cm. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng CD, BE, BD và ED (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

c) So sánh diện tích tam giác BDE với tổng diện tích hai tam giác AEB và BCD

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Hướng dẫn:

a) Từ giả thiết và tính chất về góc của tam giác vuông BCD ta có:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

⇒ B1ˆ + B2ˆ = 900 ⇒ EBDˆ = 900 , do ABCˆ là góc bẹt

Vậy trong hình vẽ có 3 tam giác vuông là ABE, BCD, EDB

b) Ta có:Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

⇒ Δ CDB ∼ Δ ABE ( g – g )

⇒ CD/AB = BC/AE hay CD/15 = 10/12 ⇔ CD = ( 10.15)/12 ⇒ CD = 18 ( cm )

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABE có:

B E2 = A E2 + A B2 ⇒ B E2 = 102 + 152 ⇒ BE ≈ 18,0( cm )

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông BCD có:

B D2 = C D2 + B C2 ⇒ B D2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BD ≈ 21,6( cm )

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông EBD có:

E D2 = B D2 + B E2 ⇒ E D2 = 325 + 468 = 793 ⇒ ED ≈ 28,2( cm )

c) Ta có:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Vậy SBED > SAEB + SBCD

Bài 2: Cho B nằm trên đoạn thẳng AC, AB = 6cm, BC = 24cm. Vẽ về một phía của AC các tia Ax và Cy vuông góc với AC. Trên tia Ax lấy điểm E sao cho EB = 10cm, trên tia Cy lấy điểm D sao cho MD = 30cm. Chứng minh EBDˆ = 900 .

Hướng dẫn:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Áp dụng định lý Py – ta –go và tam giác CDB vuông tại C ta được: B D2 = D C2 + B C2

Hay 302 = D C2 + 242 ⇔ D C2 = 182 ⇔ DC = 18( cm )

Xét Δ BEA và Δ DBC có:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Từ định nghĩa về tam giác đồng dạng và tính chất về góc của tam giác vuông DCB. Ta có:Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

⇒ B1ˆ + B2ˆ = 900 ⇒ EBDˆ = 900 (do ABCˆ là góc bẹt)

Vậy EBDˆ = 900

Bài 3: Cho tam giác ABC. Qua D là điểm trên cạnh BC lần lượt kẻ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Biết diện tích của tham giác BED là 16cm2 , diện tích tam giác FDC bằng 25cm2 . Tính SABC

Hướng dẫn:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Đặt SABC = S. Vì DE//AC nên Δ BED ∼ Δ BAC

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Lại có DF//AB nên Δ CDF ∼ Δ CBA

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Cộng theo vế của đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ) ta được:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Vậy diện tích của tam giác ABC là 81cm2

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AB = 15cm;AC = 20cm. Tia phân giác của góc HAB cắt HB tại D, tia phân giác của góc HAC cắt HC tại E. Tính độ dài các đoạn AH, HD và HE.

Hướng dẫn:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ABC vuông tại A, ta được:

B C2 = A C2 + A B2 ⇒ B C2 = 152 + 202

⇔ B C2 = 252 ⇔ BC = 25( cm )

Đặt BD = x ⇒ DC = 25 – x

Áp dụng định lý Py 0 ta – go vào hai tam giác vuông AHB và AHC, ta được:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Trừ theo vế các đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ) ta được:

152 – x2 – 202 + ( 25 – x )2 = 0 ⇔ 50x = 450 ⇔ x = 9( cm )

Nên HC = 25 – 9 = 16( cm )

Thay x = 9 vào đẳng thức ( 1 ) ta có: H A2 = 152 – 92 = 122 ⇔ HA = 12( cm )

Áp dụng tính chất đường phân giác AD vào tam giác AHB, ta được:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Áp dụng tính chất đường chất đường phân giác AE của tam giác ACH, ta được:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Bài 5: Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c. Các đường phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại I. Chứng minh rằng:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Hướng dẫn:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

a) Áp dụng tính chất đường phân giác AD và BI và tam giác ABC và tam giác ABD.

Ta có: DI/IA = DB/AB = BD/c    ( 1 )

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta được:Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Suy ra: Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

b) Chứng minh tương tự như câu a, ta được:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Công theo vế các đẳng thức ( 3 ),( 4 ),( 5 ) ta được:

Bài tập tổng hợp chương 3 Hình học 8 | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

 

BÀI VIẾT CÙNG CHUYÊN MỤC

Lương Văn Điệp

GIỚI THIỆU TÁC GIẢ: Lương Văn Điệp

Ngề nghiệp: Giáo viên Toán - Tin. Trường THCS Phương Tú, Ứng Hòa, Hà Nội.
Theo dõi
Thông báo về
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x