Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

A. Lý thuyết

1. Bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Cho tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:

• AB + AC > BC hay b + c > a

• AB + BC > AC hay c + a > b

• AC + BC > AB hay b + a > c

2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Nhận xét: Nếu xét đồng thời cả tổng và hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác thì quan hệ giữa các cạnh của nó còn được phát biểu như sau:

Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.

Ví dụ: Trong tam giác ABC, với cạnh BC ta có:

|AC – AB| < BC < AC + AB hay |b – c| < a < b + c

B. Bài tập

Bài 1: Hãy tìm độ dài các cạnh của một tam giác, biết cạnh thứ nhất gấp rưỡi cạnh thứ hai, cạnh thứ hai gấp rưỡi cạnh thứ ba và nửa chu vi tam giác bằng 9,5cm

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài cạnh thứ ba là x (cm)

Theo độ dài, độ dài cạnh thứ hai là (3/2)x (cm)

Độ dài cạnh thứ nhất là

Bất đẳng thức tam giác được thỏa mãn vì

Chu vi của tam giác là

Vậy độ dài của ba cạnh tam giác là 4cm, 6cm, 9cm

Bài 2: Cho tam giác ABC có AC > AB. Nối A với trung điểm M của BC. Trên tia AM lấy điểm E sao cho M là trung điểm của đoạn AE. Nối C với E.

a) So sánh hai đoạn thẳng AB và CE.

b) Chứng minh:

Hướng dẫn giải: