Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Khi một đường thẳng có hai điểm chung A, B với đường tròn (O) ta nói đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Khi đó ta có những kết quả quan trọng sau:

Theo định lý Pitago ta có: OH² = MO² – MH²

Mặt khác ta cũng có: OH² = R² – AH² nên suy ra

MO² – MH² = R² – AH² ⇔ MH² – AH² = MO² – R²

⇔ (MH – AH)(MH + AH) = MO² – R²

+ Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì MA.MB = MO² – R²

+ Nếu M nằm trong đoạn AB thì MA.MB = R² – MO²

Mối liên hệ khoảng cách và dây cung: R² = OH² + AB²/4

b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau.

Khi một đường thẳng Δ chỉ có một điểm chung H với đường tròn (O), ta nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hay Δ là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm H gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (O)

Như vậy nếu Δ là tiếp tuyến của (O) thì Δ vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

Ta có OH = R

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

+ Tia kẻ từ điểm đó đến tâm O là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó thì vuông góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

Khi một đường thẳng Δ và đường tròn (O) không có điểm chung ta nói đường thẳng Δ và đường tròn (O) không giao nhau. Khi đó OH > R

2. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn

3. Ví dụ cụ thể

Câu 1: Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 6cm và một điểm A cách O 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn AB.

Hướng dẫn:

OA = 10cm ⇒ A nằm ngoài đường tròn

Ta có: AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm, khi đó OB = R = 6cm.

AB ⊥ OB áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

AB² + OB² = OA²

Vậy AB = 8cm