Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0. Trong đó x là ẩn số; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

Ví dụ:

+ x² – 5x + 4 là phương trình bậc hai một ẩn trong đó a = 1; b = -5; c = 4

+ 2x² – 13x + 17 là phương trình bậc nhất một ẩn trong đó a = -2; b = -13; c = 17.

2. Giải phương trình với hai trường hợp đặc biệt

a) Trường hợp c = 0.

Khi đó phương trình có dạng: ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0

Phương trình có nghiệm: x₁ = 0; x₂ = -b/a

Ví dụ: Giải phương trình x² – 3x = 0

Ta có: x² – 3x = 0 ⇔ x(x – 3) = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 0; x₂ = 3

b) Trường hợp b = 0

Khi đó phương trình có dạng: ax² + c = 0 ⇔ x² = -c/a

+ Nếu a, c cùng dấu thì -c/a < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.

+ Nếu a, c khác dấu thì -c/a > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình 2x² – 3 = 0.

Ta có:

Vậy phương trình có hai nghiệm

3. Ví dụ

Ví dụ 1: Đưa các phương trình sau về dạng ax² + bx + c = 0 rồi chỉ rõ các hệ số a, b, c của phương trình ấy. Các phương trình: 5x² – 3x = 10x + 100; x² = 900

Giải:

+ Ta có: 5x² – 3x = 10x + 100 ⇔ 5x² – 13x – 100 = 0

Hệ số a = 5; b = -13; c = -100

+ Ta có: x² = 900 ⇔ x² – 900 = 0

Hệ số a = 1, c = -900

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau bằng cách thêm bớt thích hợp

a) x² + 6x = -8

b) x² + x = 7

Giải:

a) Ta có: x² + 6x = -8 ⇔ x² + 6x + 9 = -8 + 9

⇔ (x + 3)² = 1 

Vậy phương trình đã cho có x = -2 hoặc x = -4

b) Ta có: 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là