Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân – Luyện tập

A. Lý thuyết

1. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương

a) Tính chất

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho

b) Tổng quát

Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có:

Nếu a < b thì ac < bc

Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc

Nếu a > b thì ac > bc

Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc.

Ví dụ:

+ Ta có 3 < 5 ⇒ 3.3 < 5.3 (đúng) vì VT = 3.3 = 9 < VP = 5.3 = 15.

+ Ta có – 2 > – 3 ⇒ ( – 2 ).2 > ( – 3 ).2 (đúng) vì VT = ( – 2 ).2 = – 4 > VP = ( – 3 ).2 = – 6.

2. Liên hệ giữa thứ tự với phép nhân với số âm

a) Tính chất

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho

b) Tổng quát

Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có:

Nếu a < b thì ac > bc

Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc

Nếu a > b thì ac < bc

Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc.

Ví dụ:

+ Ta có – 7 < 2 ⇔ ( – 7 ).( – 2 ) > 2.( – 2 ) (đúng) vì VT = ( – 7 ).( – 2 ) = 14 > VP = 2.( – 2 ) = – 4.

+ Ta có 6 > 2 ⇒ 6.( – 1 ) < 2.( – 1 ) (đúng) vì VT = 6.( – 1 ) = – 6 < VP = 2.( – 1 ) = – 2.

3. Tính chất bắc cầu theo thứ tự

Với ba số a,b và c ta thấy rằng nếu a < b và b < c thì a < c. Tính chất này gọi là tính chất bắc cầu.

Ví dụ: Cho a > b. Chứng minh a + 2 > b – 1.

Hướng dẫn:

Cộng 2 vào hai vế của bất đẳng thức a > b, ta được:

a + 2 > b + 2       ( 1 )

Cộng b vào hai vế của bất đẳng thức 2 > – 1, ta được:

b + 2 > b – 1       ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ), áp dụng tính chất bắc cầu trên ta có: a + 2 > b – 1.\

B. Bài tập

Bài 1: Khẳng định sau đúng hay sai?

a) ( – 3 ).4 > ( – 3 ).3

b) ( – 4 )( – 5 ) ≤ ( – 6 )( – 5 )

Hướng dẫn:

a) Ta có: 4 > 3 ⇒ ( – 3 ).4 < ( – 3 ).3

Khẳng định trên là sai.

b) Ta có: – 4 ≥ – 6 ⇒ ( – 4 )( – 5 ) ≤ ( – 6 )( – 5 )

Khẳng định trên là đúng

Bài 2: Cho 3a ≤ 2b ( b ≥ 0 ). Hãy so sánh 2 số 5a và 4b

Hướng dẫn:

Ta có: 3a ≤ 2b ⇒ 5/3.3a ≤ 5/3.2b ⇒ 5a ≤ 10/3b

Mà 10/3 < 4 ⇒ 10/3b ≤ 4b ⇒ 5a ≤ 4b