Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Luyện tập

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 ) trong đó a và b là hai số đã cho, a \ne 0 , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ:

Các bất phương trình bậc nhất một ẩn như: 2x + 3 > 0; 3 – x ≤ 0; x + 2 < 0; 4x + 7 ≥ 0; …

2. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó.

Ví dụ: Giải bất phương trình x – 3 < 4.

Hướng dẫn:

Ta có x – 3 < 4

⇔ x < 4 + 3 (chuyển vế – 3 và đổi dấu thành 3)

⇔ x < 7.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là { x| x < 7 }.

b) Quy tắc nhân với một số.

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình (x – 1)/3 ≥ 2.

Hướng dẫn:

Ta có: (x – 1)/3 ≥ 2

⇔ (x – 1)/3.3 ≥ 2.3 (nhân cả hai vế với 3)

⇔ x – 1 ≥ 6 ⇔ x ≥ 7.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là { x| x ≥ 7 }.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 1 – 2/3x ≤ – 1.

Hướng dẫn:

Ta có: 1 – 2/3x ≤ – 1 ⇔ – 2/3x ≤ – 2

⇔ – 2/3x.( – 3 ) ≥ ( – 2 )( – 3 ) (nhân cả hai vế với – 3 và đổi dấu)

⇔ 2x ≥ 6 ⇔ x ≥ 3.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là { x| x ≥ 3 }.

3. Giải bất phương trình một ẩn

Áp dụng hai quy tắc biến đổi trên, ta giải bất phương trình bậc nhất một ẩn như sau:

Dạng ax + b > 0 ⇔ ax > – b

⇔ x > – b/a nếu a > 0 hoặc x < – b/a nếu a < 0.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là

hoặc

Các dạng toán như ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 tương tự như trên

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x – 3 > 0

Hướng dẫn:

Ta có: 2x – 3 > 0

⇔ 2x > 3 (chuyển – 3 sang VP và đổi dấu)

⇔ 2x:2 > 3:2 (chia cả hai vế cho 2)

⇔ x > 3/2.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là { x| x > 3/2 }.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 2x – 1 ≤ 3x – 7

Hướng dẫn:

Ta có: 2x – 1 ≤ 3x – 7 ⇔ – 1 + 7 ≤ 3x – 2x

⇔ x ≥ 6.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là { x| x ≥ 6 }.

B. Bài tập

Bài 1: Tìm tập nghiệm của các bất phương trình sau:

a) ( x + √ 3 )² ≥ ( x – √ 3 )² + 2

b) x + √ x < ( 2√ x + 3 )( √ x – 1 )

c) ( x – 3 )√ (x – 2) ≥ 2

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( x + √ 3 )² ≥ ( x – √ 3 )² + 2

⇔ x² + 2√ 3 x + 3 ≥ x² – 2√ 3 x + 3 + 2

⇔ 4√ 3 x ≥ 2 ⇔ x ≥ √ 3 /6 → S = [ √ 3 /6; + ∞ )

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = [ √ 3 /6; + ∞ )

b) Ta có: x + √ x < ( 2√ x + 3 )( √ x – 1 )

Điều kiện: x ≥ 0

⇔ x + √ x < 2x – 2√ x + 3√ x – 3

⇔ – x < – 3 ⇔ x > 3

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: S = ( 3; + ∞ )

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = ( 3; + ∞ )

c) Ta có: ( x – 3 )√ (x – 2) ≥ 2

Điều kiện: x ≥ 2

Bất phương trình tương đương là

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 2 ∪ [ 3; + ∞ )

Bài 2: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình ( m² – m )x < m vô nghiệm là?

Hướng dẫn:

Rõ ràng nếu m² – m ≠ 0 ⇔ thì bất phương trình luôn có nghiệm.

Với m = 0, bất phương trình trở thành 0x < 0: vô nghiệm.

Với m = 1, bất phương trình trở thành 0x < 1: luôn đúng với mọi x ∈ R

Vậy với m = 0 thì bất phương trình trên vô nghiệm.