Bài 3: Bất phương trình một ẩn

A. Lý thuyết

1. Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn x là hệ thức A( x ) > B( x ) hoặc A( x ) < B( x ) hoặc A( x ) ≥ B( x ) hoặc A( x ) ≤ B( x ).

Trong đó: A( x ) gọi là vế trái; B( x ) gọi là vế phải.

Nghiệm của bất phương trình là giá tri của ẩn thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng.

Ví dụ:

Các phương trình một ẩn như: x – 1 < 2x – 3; (x + 1)/2 > – 3; 2( x – 1 ) ≤ 1 – 3x; 1 – x ≥ 2; …

2. Tập nghiệm của bất phương trình

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình x > 2 là tập hợp các số lớn hơn 2, tức là tập hợp { x| x > 2 }.

Để dễ hình dung, ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ sau:

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình x ≤ 7 là tập hợp các số nhỏ hơn hoặc bằng 7, tức là tập hợp { x| x ≤ 7 } .

Để dễ hình dung, ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ sau:

3. Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.

Kí hiệu là “⇔”.

Ví dụ: Bất phương trình x > 3 và bất phương trình 6 < 2x có cùng tập nghiệm là { x| x > 3 }.

B.Bài tập

Bài 1: Giải bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số

Hướng dẫn:

a) Ta có: ⇔ 3x – 1 > 8

⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3

Vậy x > 3 là nghiệm của bất phương trình.

Ta biểu diễn tập nghiệm trên trục số như sau:

b) Ta có: ⇔ 6 – 4x < 5

⇔ 4x > 1 ⇔ x > 1/4

Vậy x > 1/4 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Ta biểu diễn tập nghiệm trên trục số như sau:

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a) 3x – 5 < 4

b) 3 – 4x ≥ 19

Hướng dẫn:

a) Ta có: 3x – 5 < 4 ⇔ 3x < 9 ⇔ x < 3

Vậy x < 3 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Ta có: 3 – 4x ≥ 19 ⇔ 3 – 19 ≥ 4x ⇔ – 16 ≥ 4x ⇔ x ≤ – 4

Vậy x ≤ – 4 là nghiệm của bất phương trình đã cho.