Bài 4: Phương trình tích – Luyện tập

1. Phương trình tích và cách giải

Phương trình tích có dạng A( x ).B( x ) = 0

Cách giải phương trình tích A( x ).B( x ) = 0 ⇔ 

Cách bước giải phương trình tích

Bước 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tổng quát A( x ).B( x ) = 0 bằng cách:

Chuyển tất cả các hạng tử của phương trình về vế trái. Khi đó vế phải bằng 0.

Phân tích đa thức ở vế phải thành nhân tử

Bước 2: Giải phương trình và kết luận

Ví dụ 1: Giải phương trình ( x + 1 )( x + 4 ) = ( 2 – x )( 2 + x )

Hướng dẫn:

Ta có: ( x + 1 )( x + 4 ) = ( 2 – x )( 2 + x ) ⇔ x² + 5x + 4 = 4 – x²

⇔ 2x² + 5x = 0 ⇔ x( 2x + 5 ) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 5/2; 0 }

Ví dụ 2: Giải phương trình x³ – x² = 1 – x

Hướng dẫn:

Ta có: x³ – x² = 1 – x ⇔ x²( x – 1 ) = – ( x – 1 )

⇔ x²( x – 1 ) + ( x – 1 ) = 0 ⇔ ( x – 1 )( x² + 1 ) = 0

( 1 ) ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

( 2 ) ⇔ x² + 1 = 0 (Vô nghiệm vì x² ≥ 0 ⇒ x² + 1 ≥ 1 )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 1 }.

B. Bài tập

ài 1: Giải các phương trình sau:

a) ( 5x – 4 )( 4x + 6 ) = 0

b) ( x – 5 )( 3 – 2x )( 3x + 4 ) = 0

c) ( 2x + 1 )( x² + 2 ) = 0

d) ( x – 2 )( 3x + 5 ) = ( 2x – 4 )( x + 1 )

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( 5x – 4 )( 4x + 6 ) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 3/2; 4/5 }.

b) Ta có: ( x – 5 )( 3 – 2x )( 3x + 4 ) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 4/3; 3/2; 5 }.

c) Ta có: ( 2x + 1 )( x² + 2 ) = 0

Giải ( 1 ) ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ 2x = – 1 ⇔ x = – 1/2.

Ta có: x² ≥ 0 ⇒ x² + 2 ≥ 2 ∀ x ∈ R

⇒ Phương trình ( 2 ) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { – 1/2 }.

d) Ta có: ( x – 2 )( 3x + 5 ) = ( 2x – 4 )( x + 1 )

⇔ ( x – 2 )( 3x + 5 ) – 2( x – 2 )( x + 1 ) = 0

⇔ ( x – 2 )[ ( 3x + 5 ) – 2( x + 1 ) ] = 0

⇔ ( x – 2 )( x + 3 ) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 3;2 }.

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) ( 2x + 7 )² = 9( x + 2 )²

b) ( x² – 1 )( x + 2 )( x – 3 ) = ( x – 1 )( x² – 4 )( x + 5 )

c) ( 5x² – 2x + 10 )² = ( 3x² + 10x – 8 )²

d) ( x² + x )² + 4( x² + x ) – 12 = 0

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( 2x + 7 )² = 9( x + 2 )²

⇔ ( 2x + 7 )² – 9( x + 2 )² = 0

⇔ [ ( 2x + 7 ) + 3( x + 2 ) ][ ( 2x + 7 ) – 3( x + 2 ) ] = 0

⇔ ( 5x + 13 )( 1 – x ) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 13/5; 1 }.

b) Ta có: ( x² – 1 )( x + 2 )( x – 3 ) = ( x – 1 )( x² – 4 )( x + 5 )

⇔ ( x² – 1 )( x + 2 )( x – 3 ) – ( x – 1 )( x² – 4 )( x + 5 ) = 0

⇔ ( x – 1 )( x + 1 )( x + 2 )( x – 3 ) – ( x – 1 )( x – 2 )( x + 2 )( x + 5 ) = 0

⇔ ( x – 1 )( x + 2 )[ ( x + 1 )( x – 3 ) – ( x – 2 )( x + 5 ) ] = 0

⇔ ( x – 1 )( x + 2 )[ ( x² – 2x – 3 ) – ( x² + 3x – 10 ) ] = 0

⇔ ( x – 1 )( x + 2 )( 7 – 5x ) = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { – 2; 1; 7/5 }.

c) Ta có: ( 5x² – 2x + 10 )² = ( 3x² + 10x – 8 )²

⇔ ( 5x² – 2x + 10 )² – ( 3x² + 10x – 8 )² = 0

⇔ [ ( 5x² – 2x + 10 ) – ( 3x² + 10x – 8 ) ][ ( 5x² – 2x + 10 ) + ( 3x² + 10x – 8 ) ] = 0

⇔ ( 2x² – 12x + 18 )( 8x² + 8x + 2 ) = 0

⇔ 4( x² – 6x + 9 )( 4x² + 4x + 1 ) = 0

⇔ 4( x – 3 )²( 2x + 1 )² = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { – 1/2; 3 }.

d) Ta có: ( x² + x )² + 4( x² + x ) – 12 = 0

Đặt t = x² + x, khi đó phương trình trở thành:

t² + 4t – 12 = 0 ⇔ ( t + 6 )( t – 2 ) = 0

+ Với t = – 6, ta có: x² + x = – 6 ⇔ x² + x + 6 = 0 ⇔ ( x + 1/2 )² + 23/4 = 0

Mà ( x + 1/2 )² + 23/4 ≥ 23/4 ∀ x ∈ R ⇒ Phương trình đó vô nghiệm.

+ Với t = 2, ta có x² + x = 2 ⇔ x² + x – 2 = 0

⇔ ( x + 2 )( x – 1 ) = 0 ⇔ 

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { – 2;1 }.